24
février
2005:
Olivier SCHIFFMANN (Paris 7) :
"Systèmes de racines
elliptiques et fibrés équivariants sur les
courbes elliptiques''
Résumé:
Les syst\`emes de racines elliptiques (introduits par
K. Saito dans le
contexte de la th\'eorie des singularit\'es) sont
associ\'es
\`a un
r\'eseau muni d'une forme symm\'etrique positive de
corang
deux, et
d\'ecrivent la structure de certaines alg\`ebres de Lie
de dimension
infinie (les ``alg\`ebres affines doubles''). Nous
donnerons
une autre
construction de ces syst\`emes de racines en termes de
fibr\'es vectoriels
ind\'ecomposables (plus g\'en\'eralement, faisceaux
coh\'erents
ind\'ecomposables) sur une courbe elliptique,
\'equivariant
par rapport
\`a un groupe (fini) d'automorphisme de la courbe. Nous
d\'ecrirons aussi
les syst\`emes de racines obtenus en consid\'erant des
courbes de genre
sup\'erieur.
Résumé:
Dans le cadre d'une action hamiltonienne d'un tore T sur une variété
symplectique M, on a les deux invariants globaux suivants: la mesure
de Duistermaat-Heckman DH(M) et une famille Q(k) de représentations
virtuelles de T (paramétrée par un entier naturel k) qui est définie
lorsque M est préquantifiée par un fibré en droites de Kostant-Souriau.
On peut localiser ces invariants sur chaque composante connexe C de
valeurs regulières de l'application moment: on obtient les invariants
locaux DH_c et Q_c. Dans cet exposé nous montrerons comment calculer
les différences DH_c - DH_c' et Q_c - Q_c' lorsque C et C' sont
adjacents.
On presentera deux applications: l'une sur les multiplicites par
rapport au tore maximal d'une representation irreductible d'un
groupe de Lie compact, l'autre se place dans le cadre purement
combinatoire des fonctions de partition.