Groupe de travail "R-espaces symétriques"
(année 2007/08)
les
jeudis après-midi en salle de conférences (15 heures 15,
s'il y a un exposé de séminaire, 14 heures sinon).
Contact : W. Bertram, J.-L. Clerc, K. Koufany
Planning des exposés :
11 octobre 2007 : Fernando DE OLIVEIRA :
Groupes de
transformations d'espaces symétriques compacts
(d'après T. Nagano)
25 octobre
2007 :
Jean-Louis CLERC :
Compléments
concernant l'article de Nagano (analyse harmonique sur les espaces
symétriques compacts)
15 novembre 2007 : Jean-Louis CLERC :
Groupes de transformations d'espaces symétriques compacts
(suite)
29 novembre 2007
:
Fernando DE OLIVEIRA :
Groupes de transformations d'espaces symétriques compacts
(suite et fin)
6
décembre 2007 : Julien CHENAL :
R-espaces symétriques et systèmes triples de Jordan
compacts (d'après O. Loos)
13 et 20 décembre
2007;
10, 17, 24
et 31 janvier 2008:
Julien CHENAL :
R-espaces symétriques et systèmes triples de Jordan
compacts (suite)
7
février 2008 (à 14 heures) : Julien CHENAL :
R-espaces symétriques et systèmes triples de Jordan
compacts (fin)
14
février 2008 : Wolfgang BERTRAM
"J-espaces symétriques"
21 février 2008
: Wolfgang BERTRAM
"J-espaces symétriques" (suite)
6 mars 2008
: (deux exposés
au séminaire !)
13 mars 2008
: Stéphane
MERIGON
"Complexification et complétion projective d'une paire de Jordan"
10 avril 2008 : Stéphane
MERIGON
"Le dual non-compact d'un R-espace symétrique ; domaines
bornés symétriques réels"
Descriptif du sujet : Les
"R-espaces symétriques" sont des espaces symétriques
compacts,
M=U/K admettant un groupe de transformations L, qui est toujours un
groupe de Lie, mais de dimension strictement plus grande : on peut
écrire M=L/Q,
avec U inclus dans L. Alors L est un groupe de Lie semisimple
non-compact, et Q est un
sous-groupe parabolique (maximal). Ainsi M est à la fois un
espaces symétrique et une
variété de drapeaux (généralisée).
Exemples importants sont les Grassmanniennes
réelles ou complexes ou les quadriques projectives
("sphères conformes") - voici la
liste complète des R-espaces
symétriques classiques. Les deux articles fondateurs du
sujet sont
Nagano, Tadashi :Transformation
groups on compact symmetric spaces.
Trans. Amer. Math. Soc.118 (1965), 428--453,
Takeuchi, Masaru :
Cell decompositions and Morse equalities on certain symmetric spaces.
J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I 12 (1965) 81--192.
Le terme malheurex "R-espaces" semble du à Takeuchi
(la signification de la lettre "R" reste
mystérieuse). Ces espaces jouent, d'une part, un rôle
important en géométrie (espaces projectifs,
Grassmanniennes, Lagrangiennes, sphères conformes) ; d'autre
part, ils ont des aspects
intéressants de géométrie "extrensèque",
pour lequel l'article
de Ferus
Ferus, Dirk :
Symmetric submanifolds of Euclidean space.
(Math. Ann. 247 (1980), no. 1, 81--93)
est basique. Les aspects "intrensèques" des R-espaces
symétriques sont étroitement liés
à la théorie des structures algébriques de Jordan
(algèbres, systèmes triples et paires de
Jordan). Cette théorie est en grande partie due à O.
Loos, annoncé dans une note au Bull. A.M.S.
en 1971, puis préparée dans les Irvine Lecture Notes de
1977 et dans plusieurs articles
des années 70 et 80, et finalement publiée
dans
Loos, Ottmar : Charakterisierung
symmetrischer R-Räume durch ihre Einheitsgitter.
(Math. Z. 189 (1985), no. 2, 211--226).
Il est intéressant de poursuivre ces études dans
plusieurs directions : d'une part, en regardant
la classe plus grande d'espaces symétriques qui se
réalisent comme orbites ouvertes dans
des variétés de drapeaux (Makarevic
1973 ; cf. LNM
1754, et aussi leurs aspects extrinsèques
étudiés par Naitoh)
; d'autre part, l'approche "jordanienne" ouvre la voie à une
étude de ce
genre d'espaces en dimension infinie (par exemple, divers
Grassmanniennes et Lagrangiennes
dans des espaces de Hilbert).